On dit souvent que « la maison gagne toujours ». La maison ne gagne pas toujours, mais elle gagne plus souvent que les joueurs. Quelles sont les probabilités de gagner au casino, et pourquoi vaut-il mieux investir ?
Quelle est l’espérance de gain lorsqu’on joue aux jeux de casino, et comment ce concept est-il mesuré dans les investissements ? En dehors des lois probabilistes qui les régissent, quels points communs existent entre ces deux activités ?
Fait intéressant : les jeux de casino — hauts en couleur et animés — tout comme ce que certains pourraient considérer comme les actifs financiers plus ennuyeux, peuvent être analysés et comparés statistiquement. Chacun possède une espérance de gain, mais comment celle-ci est-elle calculée, et pour quel type d’actif est-elle la plus élevée ?
La maison gagne toujour souvent.
On dit souvent que « la maison gagne toujours ». Cette expression populaire illustre bien l’avantage indéniable des établissements de jeux (ou de l’État) et reflète une réalité sous-jacente.
Le concept statistique fondamental lié à cela est l’espérance de gain. Ce concept est également omniprésent dans le monde des investissements, où l’on parle de rendement espéré. C’est un outil essentiel pour les investisseurs souhaitant évaluer les résultats potentiels de leurs décisions.
Qu’est-ce que la valeur espérée ?
Avant d’entrer dans la définition formelle, prenons un exemple pratique pour mieux comprendre ce concept. Imaginons que nous sommes dans un casino en train de jouer au Craps, un jeu où les joueurs misent sur le résultat du lancer de dés à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un deux ?
La réponse est 1/6, car un dé possède six faces, et la probabilité d’obtenir chaque chiffre est identique. Pour calculer la valeur espérée, on additionne les résultats possibles (les chiffres sur le dé) et on les multiplie chacun par la probabilité de leur occurrence, qui, comme nous l’avons mentionné, est de 1/6.
Voici le calcul à effectuer :
(1×1/6) + (2×1/6) + (3×1/6) + (4×1/6) + (5×1/6) + (6×1/6) = 3,5
La prochaine fois que vous verrez un dé lancé dans un casino, vous saurez que la valeur espérée est de 3,5. Cela signifie que si vous lancez un dé à six faces un grand nombre de fois, la moyenne des résultats sera de 3,5. Passons maintenant à une définition plus formelle.
“En théorie des probabilités, la valeur espérée (également appelée moyenne ou espérance mathématique) d’une variable aléatoire X est un nombre, noté E(X), qui formalise l’idée heuristique de moyenne d’un phénomène aléatoire.”
En résumé, la valeur espérée d’un événement se calcule en multipliant chaque résultat possible par la probabilité de son occurrence, puis en additionnant ces produits. En termes plus simples, on peut la considérer comme la moyenne pondérée de tous les résultats possibles. Cette définition sera très utile lorsqu’il s’agira de parler d’investissements.
La maison gagne toujours : pourquoi jouer au casino ne vaut pas la peine
Téléportons-nous un instant dans un casino. Maintenant que nous comprenons le concept de valeur espérée, tout prend un nouveau sens : cette valeur est toujours négative pour les joueurs, mais toujours positive pour la maison.
Si ce point vous a échappé, vous avez peut-être manqué un détail crucial : nous venons d’analyser une industrie qui a généré à elle seule 131 milliards d’euros de chiffre d’affaires en Europe en 2023.
L’explication est simple. Les jeux de hasard sont conçus pour offrir un avantage au casino, appelé l’« avantage de la maison » (house edge en anglais). Cet avantage garantit la viabilité économique du modèle : si la valeur espérée était positive pour les joueurs, exploiter un casino reviendrait à distribuer de l’argent à long terme.
Cela dit, tous les jeux ne se valent pas. Certains, comme la roulette, ont une valeur espérée seulement légèrement négative, tandis que d’autres, comme le SuperEnalotto, offrent des probabilités si défavorables qu’il est pratiquement impossible d’y gagner gros. Jetons un œil à la valeur espérée des jeux de casino les plus populaires.
Un exemple concret : la valeur espérée à la roulette
L’un des jeux de casino les plus généreux pour les joueurs est la roulette européenne, qui ne comporte qu’un seul zéro. Pour illustrer cela, calculons les probabilités d’un pari simple, comme parier sur le rouge ou le noir, pair ou impair, ou encore les plages 1-18 ou 19-36. À la roulette européenne, il y a 37 numéros possibles : 18 rouges, 18 noirs et 1 zéro vert.
Prenons par exemple un pari sur le rouge :
- La probabilité de gagner est de 18 sur 37 (environ 48,65 %), puisqu’il y a 18 numéros rouges.
- La probabilité de perdre est de 19 sur 37 (environ 51,35 %), car en plus des 18 numéros noirs, il y a le zéro, qui fait perdre les mises sur le rouge.
Le gain pour un pari gagnant sur le rouge est de 1:1. Si vous misez 1 €, vous recevrez un total de 2 € en cas de victoire, soit un bénéfice net de 1 €. En revanche, si vous perdez, vous perdez l’intégralité de la mise.
Par conséquent, la valeur espérée totale résulte de la différence entre la valeur attendue de la probabilité de gain (18/37) et celle de la défaite (19/37), ce qui entraîne une perte de 0,027 € par euro misé. Pour simplifier, nous n’avons pas détaillé la formule, mais vous pouvez la vérifier en appliquant la même méthode que celle utilisée pour le dé.
La valeur espérée dans les investissements financiers
Maintenant que vous êtes familier avec le concept de valeur espérée dans les jeux de casino, il est temps d’aborder les investissements. Des principes probabilistes similaires permettent d’estimer les performances futures des instruments financiers tels que les actions, les obligations, les indices et même les cryptomonnaies.
Tout d’abord, il est important de noter qu’un changement de système de référence modifie l’approche probabiliste. On ne peut pas analyser le monde de la finance de manière purement objective, car il ne se compose pas d’événements parfaitement symétriques et bien définis (comme un lancer de pièce). Dans ce contexte, les probabilités sont modélisées à partir de données historiques.
La valeur espérée des investissements, également appelée rendement espéré, est la moyenne pondérée des rendements possibles d’un investissement, en tenant compte de la probabilité de chaque résultat potentiel. Cette définition ressemble fortement à celle utilisée dans les jeux de casino.
Cet article explorera le concept de valeur espérée dans la finance à travers l’un des indices boursiers les plus anciens : le S&P 500. Le S&P 500 est l’un des indices boursiers les plus importants au monde, représentant la performance des 500 plus grandes entreprises cotées aux États-Unis. Avec près d’un siècle de données historiques, il constitue un outil fiable pour estimer les rendements boursiers à long terme. Historiquement, le S&P 500 a offert un rendement annuel moyen positif.Le rendement espéré est actuellement d’environ +10 %, en tenant compte des données historiques de 1928 à aujourd’hui, dividendes réinvestis compris, sur de longues périodes. Il serait intéressant de faire la même analyse avec le Bitcoin, mais malheureusement, quinze ans d’historique sont insuffisants pour évaluer statistiquement un phénomène financier. À ce jour, le rendement espéré du Bitcoin serait de 85 %, en analysant ses performances de 2011 à aujourd’hui.
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Pourquoi investir n’est pas jouer : conclusions
Bien que l’investissement et le jeu impliquent tous deux de risquer du capital dans l’espoir d’un gain, la différence fondamentale réside dans la nature et le signe de la valeur espérée.
Dans les jeux de hasard, la valeur espérée est négative pour le joueur. Le système est fondamentalement fermé et fonctionne comme un jeu à somme négative : la maison conserve toujours une partie des mises comme marge. Peu importe la durée de jeu ou la stratégie adoptée, la valeur espérée reste inchangée. Des systèmes comme la martingale peuvent modifier la répartition des gains à court terme, mais n’affectent pas la valeur prévisible à long terme.
À long terme, les joueurs perdent en moyenne un pourcentage qui reflète l’avantage de la maison. L’expression « la maison gagne toujours » n’est pas qu’un cliché : c’est une réalité mathématiquement démontrée par la structure même des jeux de casino.
À l’inverse, les investissements financiers — notamment en bourse — offrent généralement une valeur espérée positive. Cela s’explique par le fait que l’économie produit continuellement de la richesse : les entreprises croissent, génèrent des bénéfices et innovent, contribuant à une augmentation de la valeur à long terme. En investissant dans un indice de marché diversifié, les investisseurs peuvent participer à cette croissance économique globale.
Bien sûr, il existe toujours un risque de mauvais choix ou de baisses à court terme, mais ces risques peuvent être gérés grâce à la diversification, à des objectifs à long terme et à une discipline constante. Ce type de stratégie est impossible dans le jeu, où chaque pari est indépendant et structurellement désavantageux.
Volatilité et valeur espérée : le lien
Le dernier point à considérer lorsqu’on compare les jeux de casino au monde des investissements est la volatilité, notamment en contraste avec la certitude des pertes. Dans les jeux de hasard, y compris les cartes à gratter et le SuperEnalotto, le résultat à long terme est prévisible — les joueurs peuvent s’attendre à perdre un pourcentage fixe de leurs mises totales. Plus on mise, plus la volatilité tend à diminuer en proportion du volume joué.
Dans les investissements, en revanche, la volatilité ne diminue pas nécessairement sur de longues périodes. Elle peut engendrer une incertitude plus importante concernant les résultats à moyen terme. Néanmoins, la probabilité d’obtenir un rendement positif augmente avec le temps, car la valeur espérée des investissements est positive.
Détenir une action pendant une seule journée revient à lancer une pièce : il y a généralement 50 % de chances de réaliser un gain et 50 % de chances d’enregistrer une perte. En revanche, si l’on conserve cette action pendant un an, il y a de bonnes chances d’obtenir un rendement positif — bien que cela ne soit jamais garanti.Il est important de noter que l’investissement comporte des risq ues ; toutefois, les investisseurs sont rémunérés pour les risques qu’ils prennent. Le jeu, en revanche, engendre généralement des désavantages supplémentaires, sans aucune espérance de gain à long terme.
