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On dit souvent que « la maison gagne toujours ». La maison ne gagne pas toujours, mais elle gagne plus souvent que les joueurs. Quelles sont les probabilités de gagner au casino, et pourquoi vaut-il mieux investir ?

Quelle est l’espérance de gain lorsqu’on joue aux jeux de casino, et comment ce concept est-il mesuré dans les investissements ? En dehors des lois probabilistes qui les régissent, quels points communs existent entre ces deux activités ?

Fait intéressant : les jeux de casino — hauts en couleur et animés — tout comme ce que certains pourraient considérer comme les actifs financiers plus ennuyeux, peuvent être analysés et comparés statistiquement. Chacun possède une espérance de gain, mais comment celle-ci est-elle calculée, et pour quel type d’actif est-elle la plus élevée ?

La maison gagne toujour souvent.

On dit souvent que « la maison gagne toujours ». Cette expression populaire illustre bien l’avantage indéniable des établissements de jeux (ou de l’État) et reflète une réalité sous-jacente.

Le concept statistique fondamental lié à cela est l’espérance de gain. Ce concept est également omniprésent dans le monde des investissements, où l’on parle de rendement espéré. C’est un outil essentiel pour les investisseurs souhaitant évaluer les résultats potentiels de leurs décisions.

Qu’est-ce que la valeur espérée ?

Avant d’entrer dans la définition formelle, prenons un exemple pratique pour mieux comprendre ce concept. Imaginons que nous sommes dans un casino en train de jouer au Craps, un jeu où les joueurs misent sur le résultat du lancer de dés à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un deux ?

La réponse est 1/6, car un dé possède six faces, et la probabilité d’obtenir chaque chiffre est identique. Pour calculer la valeur espérée, on additionne les résultats possibles (les chiffres sur le dé) et on les multiplie chacun par la probabilité de leur occurrence, qui, comme nous l’avons mentionné, est de 1/6.

Voici le calcul à effectuer :

(1×1/6) + (2×1/6) + (3×1/6) + (4×1/6) + (5×1/6) + (6×1/6) = 3,5

La prochaine fois que vous verrez un dé lancé dans un casino, vous saurez que la valeur espérée est de 3,5. Cela signifie que si vous lancez un dé à six faces un grand nombre de fois, la moyenne des résultats sera de 3,5. Passons maintenant à une définition plus formelle.

“En théorie des probabilités, la valeur espérée (également appelée moyenne ou espérance mathématique) d’une variable aléatoire X est un nombre, noté E(X), qui formalise l’idée heuristique de moyenne d’un phénomène aléatoire.”

En résumé, la valeur espérée d’un événement se calcule en multipliant chaque résultat possible par la probabilité de son occurrence, puis en additionnant ces produits. En termes plus simples, on peut la considérer comme la moyenne pondérée de tous les résultats possibles. Cette définition sera très utile lorsqu’il s’agira de parler d’investissements.

La maison gagne toujours : pourquoi jouer au casino ne vaut pas la peine

Téléportons-nous un instant dans un casino. Maintenant que nous comprenons le concept de valeur espérée, tout prend un nouveau sens : cette valeur est toujours négative pour les joueurs, mais toujours positive pour la maison.

Si ce point vous a échappé, vous avez peut-être manqué un détail crucial : nous venons d’analyser une industrie qui a généré à elle seule 131 milliards d’euros de chiffre d’affaires en Europe en 2023.

L’explication est simple. Les jeux de hasard sont conçus pour offrir un avantage au casino, appelé l’« avantage de la maison » (house edge en anglais). Cet avantage garantit la viabilité économique du modèle : si la valeur espérée était positive pour les joueurs, exploiter un casino reviendrait à distribuer de l’argent à long terme.

Cela dit, tous les jeux ne se valent pas. Certains, comme la roulette, ont une valeur espérée seulement légèrement négative, tandis que d’autres, comme le SuperEnalotto, offrent des probabilités si défavorables qu’il est pratiquement impossible d’y gagner gros. Jetons un œil à la valeur espérée des jeux de casino les plus populaires.

Un exemple concret : la valeur espérée à la roulette

L’un des jeux de casino les plus généreux pour les joueurs est la roulette européenne, qui ne comporte qu’un seul zéro. Pour illustrer cela, calculons les probabilités d’un pari simple, comme parier sur le rouge ou le noir, pair ou impair, ou encore les plages 1-18 ou 19-36. À la roulette européenne, il y a 37 numéros possibles : 18 rouges, 18 noirs et 1 zéro vert.

Prenons par exemple un pari sur le rouge :

• La probabilité de gagner est de 18 sur 37 (environ 48,65 %), puisqu’il y a 18 numéros rouges.
  
• La probabilité de perdre est de 19 sur 37 (environ 51,35 %), car en plus des 18 numéros noirs, il y a le zéro, qui fait perdre les mises sur le rouge.

Le gain pour un pari gagnant sur le rouge est de 1:1. Si vous misez 1 €, vous recevrez un total de 2 € en cas de victoire, soit un bénéfice net de 1 €. En revanche, si vous perdez, vous perdez l’intégralité de la mise.

Par conséquent, la valeur espérée totale résulte de la différence entre la valeur attendue de la probabilité de gain (18/37) et celle de la défaite (19/37), ce qui entraîne une perte de 0,027 € par euro misé. Pour simplifier, nous n’avons pas détaillé la formule, mais vous pouvez la vérifier en appliquant la même méthode que celle utilisée pour le dé.

La valeur espérée dans les investissements financiers

Maintenant que vous êtes familier avec le concept de valeur espérée dans les jeux de casino, il est temps d’aborder les investissements. Des principes probabilistes similaires permettent d’estimer les performances futures des instruments financiers tels que les actions, les obligations, les indices et même les cryptomonnaies.

Tout d’abord, il est important de noter qu’un changement de système de référence modifie l’approche probabiliste. On ne peut pas analyser le monde de la finance de manière purement objective, car il ne se compose pas d’événements parfaitement symétriques et bien définis (comme un lancer de pièce). Dans ce contexte, les probabilités sont modélisées à partir de données historiques.

La valeur espérée des investissements, également appelée rendement espéré, est la moyenne pondérée des rendements possibles d’un investissement, en tenant compte de la probabilité de chaque résultat potentiel. Cette définition ressemble fortement à celle utilisée dans les jeux de casino.

Cet article explorera le concept de valeur espérée dans la finance à travers l’un des indices boursiers les plus anciens : le S&P 500. Le S&P 500 est l’un des indices boursiers les plus importants au monde, représentant la performance des 500 plus grandes entreprises cotées aux États-Unis. Avec près d’un siècle de données historiques, il constitue un outil fiable pour estimer les rendements boursiers à long terme. Historiquement, le S&P 500 a offert un rendement annuel moyen positif.Le rendement espéré est actuellement d’environ +10 %, en tenant compte des données historiques de 1928 à aujourd’hui, dividendes réinvestis compris, sur de longues périodes. Il serait intéressant de faire la même analyse avec le Bitcoin, mais malheureusement, quinze ans d’historique sont insuffisants pour évaluer statistiquement un phénomène financier. À ce jour, le rendement espéré du Bitcoin serait de 85 %, en analysant ses performances de 2011 à aujourd’hui.

Pourquoi investir n’est pas jouer : conclusions

Bien que l’investissement et le jeu impliquent tous deux de risquer du capital dans l’espoir d’un gain, la différence fondamentale réside dans la nature et le signe de la valeur espérée.

Dans les jeux de hasard, la valeur espérée est négative pour le joueur. Le système est fondamentalement fermé et fonctionne comme un jeu à somme négative : la maison conserve toujours une partie des mises comme marge. Peu importe la durée de jeu ou la stratégie adoptée, la valeur espérée reste inchangée. Des systèmes comme la martingale peuvent modifier la répartition des gains à court terme, mais n’affectent pas la valeur prévisible à long terme.

À long terme, les joueurs perdent en moyenne un pourcentage qui reflète l’avantage de la maison. L’expression « la maison gagne toujours » n’est pas qu’un cliché : c’est une réalité mathématiquement démontrée par la structure même des jeux de casino.

À l’inverse, les investissements financiers — notamment en bourse — offrent généralement une valeur espérée positive. Cela s’explique par le fait que l’économie produit continuellement de la richesse : les entreprises croissent, génèrent des bénéfices et innovent, contribuant à une augmentation de la valeur à long terme. En investissant dans un indice de marché diversifié, les investisseurs peuvent participer à cette croissance économique globale.

Bien sûr, il existe toujours un risque de mauvais choix ou de baisses à court terme, mais ces risques peuvent être gérés grâce à la diversification, à des objectifs à long terme et à une discipline constante. Ce type de stratégie est impossible dans le jeu, où chaque pari est indépendant et structurellement désavantageux.

Volatilité et valeur espérée : le lien

Le dernier point à considérer lorsqu’on compare les jeux de casino au monde des investissements est la volatilité, notamment en contraste avec la certitude des pertes. Dans les jeux de hasard, y compris les cartes à gratter et le SuperEnalotto, le résultat à long terme est prévisible — les joueurs peuvent s’attendre à perdre un pourcentage fixe de leurs mises totales. Plus on mise, plus la volatilité tend à diminuer en proportion du volume joué.

Dans les investissements, en revanche, la volatilité ne diminue pas nécessairement sur de longues périodes. Elle peut engendrer une incertitude plus importante concernant les résultats à moyen terme. Néanmoins, la probabilité d’obtenir un rendement positif augmente avec le temps, car la valeur espérée des investissements est positive.

Détenir une action pendant une seule journée revient à lancer une pièce : il y a généralement 50 % de chances de réaliser un gain et 50 % de chances d’enregistrer une perte. En revanche, si l’on conserve cette action pendant un an, il y a de bonnes chances d’obtenir un rendement positif — bien que cela ne soit jamais garanti.Il est important de noter que l’investissement comporte des risq ues ; toutefois, les investisseurs sont rémunérés pour les risques qu’ils prennent. Le jeu, en revanche, engendre généralement des désavantages supplémentaires, sans aucune espérance de gain à long terme.

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La paresse serait-elle une vertu dans le monde de l’investissement ? Découvrez 5 autres idées paradoxales et contre-intuitives (mais vraies) issues de la finance personnelle.

Quels sont les principaux paradoxes de la finance personnelle ? Ce blog se concentre avant tout sur les crypto-monnaies, mais il nous arrive d’explorer d’autres facettes du vaste univers de l’investissement.

Nous sommes récemment tombés sur un article intéressant publié par Dedalo Invest, dans lequel l’auteur, Andrea Gonzali, présente 10 contradictions (ou paradoxes) liés à la gestion financière personnelle. Nous avons choisi de revisiter ce contenu, car plusieurs points abordés résonnent fortement avec les dynamiques du monde crypto.

Le monde de l’investissement : un univers souvent contre-intuitif

L’objectif principal de toute personne qui s’intéresse aux marchés est clair : maximiser les rendements et limiter les pertes. Pourtant, bon nombre de décisions prises par les investisseurs peuvent sembler irrationnelles, surtout avec le recul.

En résumé, la finalité est claire, intuitive et rationnelle. Mais les chemins pour y parvenir sont souvent plus complexes.

Cette complexité n’a pas une seule origine. Historiquement, notre intuition humaine s’est forgée autour de deux objectifs essentiels : assurer notre survie et perpétuer l’espèce. Accroître son capital financier n’en faisait pas partie. Pour citer l’auteur de l’article original :

« Les principes de base sont intuitifs : épargner régulièrement, investir avec bon sens, diversifier son portefeuille et le faire fructifier sur le long terme. Ce qui est complexe, c’est la gestion de l’argent au quotidien. »

1. La paresse est une vertu

Commençons par ce qui est sans doute l’affirmation la plus paradoxale : la paresse maximise souvent les performances, tandis que l’hyperactivité tend à les freiner. Bien sûr, cette remarque ne vise pas à généraliser ; il existe toujours des exceptions — comme ce cousin de notre ami, un trader de meme coins très actif. Mais lorsqu’on observe les grandes tendances en matière d’investissement et de finance personnelle, certaines croyances profondément ancrées sur la valeur du travail acharné et de l’implication sont remises en question.

Il est essentiel de préciser que, dans ce contexte, la paresse concerne l’aspect opérationnel de l’investissement — à savoir la fréquence des achats, des ventes ou des rééquilibrages — et non le temps consacré à l’apprentissage de concepts ou de théories. Cette logique s’applique également au monde de la crypto. Plus un investisseur effectue de transactions sur une période donnée, plus il augmente ses chances de commettre des erreurs pouvant entraîner des pertes significatives, notamment avec certains types de crypto-monnaies.

Dans la finance traditionnelle, les « portefeuilles paresseux » — c’est-à-dire ceux qui se contentent de diversifier entre quelques classes d’actifs via des instruments simples et peu gourmands en gestion — ont historiquement surpassé bon nombre de stratégies plus complexes et activement gérées. Il en va de même pour les portefeuilles composés principalement de Bitcoin et de quelques altcoins, même sur des horizons d’investissement plus courts.

Plusieurs raisons expliquent ce phénomène. Tout d’abord, chaque transaction réalisée via une plateforme de courtage ou un échange crypto génère des frais et augmente le risque d’erreurs. Ensuite, en raison du caractère imprévisible des marchés, même les investisseurs professionnels ne cherchent plus à « timer » le marché — c’est-à-dire vendre au plus haut et acheter au plus bas. Enfin, il ne faut pas oublier que toute plus-value réalisée à travers le trading est soumise à l’imposition.

2. « Il faut suivre son intuition » — Vraiment ?

L’intuition est essentielle à notre sécurité : elle nous alerte face au danger avant même qu’il ne soit visible. Mais lorsqu’il s’agit d’investissement, s’y fier peut s’avérer risqué. L’être humain n’investit son argent que depuis peu à l’échelle de l’évolution, alors que notre intuition — et les biais cognitifs qui y sont associés — s’est développée sur des centaines de milliers d’années.

En d’autres termes, notre instinct s’est façonné pour nous protéger des menaces immédiates, comme les animaux sauvages ou les plantes toxiques, pas pour interpréter la complexité des marchés financiers après un crash post-Trump.

Ces biais cognitifs sont des raccourcis mentaux qui influencent nos croyances et nos décisions rapides — avec un impact considérable sur nos choix en matière d’investissement :

1. Biais d’ancrage : nous attachons une valeur exagérée (et souvent irrationnelle) à certains seuils de prix. Un bon exemple est le seuil des 100 000 $ pour le Bitcoin : de nombreux investisseurs se sont trompés durant le bull market de 2021 en pensant que le BTC atteindrait ce niveau.
   
2. Biais de surconfiance : il survient lorsque nous surestimons nos connaissances, notre capacité à prendre de bonnes décisions ou la précision de nos prévisions.
   
3. Biais de confirmation : ce biais nous pousse à rechercher uniquement les informations qui confirment nos opinions existantes, en ignorant celles qui les contredisent.
   

C’est pourquoi les approches d’investissement rigides, basées sur des règles claires et inaltérables — comme une stratégie d’achat périodique suivie d’une conservation à long terme (buy and hold) — donnent souvent de meilleurs résultats que les choix fondés sur l’instinct ou la perception subjective de l’investisseur.

3. Les soldes n’attirent pas les acheteurs

En finance — et tout particulièrement dans le monde de la crypto — une baisse des prix a souvent pour effet d’éloigner les acheteurs, ce qui est paradoxal comparé aux autres secteurs. Par exemple, si une paire de chaussures que nous convoitons voit son prix chuter de 50 %, nous avons tendance à y voir une opportunité et à l’acheter sans hésiter. Dans les marchés financiers, c’est souvent l’inverse qui se produit.

Un meme bien connu illustre parfaitement cette logique inversée : une longue file d’acheteurs lorsque le Bitcoin est à 100 000 $, et plus personne lorsque son prix tombe à 6 000 $.

Ce phénomène s’explique notamment par l’effet de troupeau : lorsque tout le monde vend, notre instinct nous pousse à faire de même, même si, rationnellement, nous savons que cela pourrait être justement le moment idéal pour acheter. Sur les marchés, les “promotions” font peur, car une baisse de prix est généralement associée à des nouvelles négatives ou à des comportements de panique — ce qui influence la perception des investisseurs, qui anticipent encore plus de pertes.

4. Investir au plus haut est la norme, pas l’exception

Éloignons-nous un instant du secteur crypto pour regarder du côté des marchés financiers traditionnels, et plus précisément du marché boursier. Ce détour ne signifie pas que les concepts évoqués soient exclusifs aux actions, mais simplement que les actifs crypto sont encore jeunes par rapport aux indices boursiers, ce qui limite notre recul historique pour appuyer certains raisonnements.

Pour les investisseurs débutants, une crainte revient souvent : celle d’acheter au plus haut ou d’arriver « trop tard ». Pourtant, si l’on observe l’historique du S&P 500 — l’indice phare qui regroupe les 500 plus grandes entreprises américaines et reflète, dans une large mesure, la tendance générale du marché — cette peur paraît largement infondée.

Depuis sa création en 1957 jusqu’à mars 2025, le S&P 500 a atteint 1 242 nouveaux sommets historiques. Ces records sont généralement espacés de courtes périodes. Bien sûr, il y a eu des exceptions notables, comme les sept années entre 2000 et 2007, ou encore entre 1973 et 1980. Mais dans l’ensemble, le graphique de l’indice montre qu’il passe une grande partie de son temps à proximité de ses plus hauts.

En résumé : dans la finance traditionnelle, atteindre de nouveaux sommets n’est pas un événement exceptionnel, mais bien une normalité.

L’idée selon laquelle il serait plus facile d’investir en période de marché baissier est souvent trompeuse. Lorsque les marchés chutent, la peur et l’incertitude dominent, rendant paradoxalement l’acte d’investissement plus difficile — même si les prix sont bien plus attractifs.

Et dans l’univers crypto ? Pour le moment, le Bitcoin ne peut être comparé au S&P 500, notamment à cause des 50 années d’historique qui les séparent. Cette différence explique en partie pourquoi la valeur du BTC reste plus cyclique et soumise à une forte volatilité.

Cependant, on observe récemment un raccourcissement des cycles entre les plus hauts historiques du Bitcoin — sans doute lié à l’intérêt croissant des investisseurs institutionnels. Avec le temps, même si rien n’est garanti, il est probable que le comportement du Bitcoin se stabilise et se rapproche de celui des actifs traditionnels. L’or en est un bon exemple, car il partage avec le Bitcoin une caractéristique centrale : la rareté.

5. Investir au plus haut est la norme, pas l’exception (suite)

Nous arrivons au cinquième et dernier point, parfaitement résumé par Dedalo Invest à travers ce paradoxe :

• Pour profiter pleinement des intérêts composés, il faut commencer à investir le plus tôt possible.
• Mais on ne peut pas agir à l’aveugle : il est essentiel de comprendre ce que l’on fait et de se former avant de se lancer.

La première partie de cette affirmation est assez intuitive si l’on connaît le fonctionnement des intérêts composés : il s’agit des rendements générés non seulement sur le capital initial, mais aussi sur les intérêts déjà accumulés. En d’autres termes, vous gagnez des intérêts… sur vos intérêts. C’est un puissant levier sur le long terme.

Cependant, se lancer sans connaissances solides peut conduire à des erreurs coûteuses — aussi bien financièrement que moralement — et décourager bon nombre de personnes qui finissent par abandonner toute idée d’investissement.

Alors, comment surmonter ce dilemme ?
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